Online Lernen | Mathematik Aufgaben | Geometrie Berechnungen am Kreis Satz des Thales - Erklärung und Beweis

Satz des Thales - Erklärung und Beweis

Definition

Der Satz des Thales ist einer der ältesten Sätze der Mathematik. Er besagt, dass alle Winkel in einem Halbkreisbogen rechtwinklig sind. Genau gesagt bedeutet das: Ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises (Thaleskreis) und einem weiteren Punkt dieses Halbkreises, ergibt immer ein rechtwinkliges Dreieck. Schauen wir uns dies an einer Skizze an.

satz-des-thales

Methode

Methode

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Wie du siehst, entsteht, egal wohin du den Punkt D bewegst, immer ein rechtwinkliges Dreieck. Versuche dies einmal selbst mit dem Interaktiven Arbeitsblatt aus.

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Was ist der Thaleskreis?

Der Thaleskreis ist eigentlich nichts anderes als ein Halbkreis, der durch den Durchmesser getrennt wird. Da der rechte Winkel immer gegenüber von dem Durchmesser ist, ist dieser immer die Hypotenuse des gebildeten rechtwinkligen Dreiecks.

Beweis des Thalessatzes

satz-des-thales-beweis
Abbildung Skizze Beweis Thalessatz

Vom Mittelpunkt zum Punkt D ziehen wir eine Hilfslinie und haben nun drei Dreiecke:

  1. Dreieck: Eckpunkte $B, C$ und $D$
  2. Dreieck: Eckpunkte $B, D$ und Mittelpunkt
  3. Dreieck: Eckpunkte $C, D$ und Mittelpunkt

Schauen wir uns nun die Dreiecke an. Unser Ziel ist es zu beweisen, dass $\alpha = 90 ^\circ $ ist.
Schauen wir uns das große Dreieck BCD mit der Linie vom Mittelpunkt zum Punkt D an. Wir sehen, dass durch die Linie zwei gleichschenklige Dreiecke gebildet werden. Die drei Schenkel sind alle so groß wie der Radius. Aus diesem Grund sind die Winkel $\beta$ und $\beta_1$ gleich groß und auch $\gamma$ und $\gamma_1$.

Merke

Merke

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Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt immer $180 ^\circ$!

Wenden wir die Regel der Größe der Innensummen auf unsere Aufgabe an. Dann ist also $\alpha+\beta+\gamma_1 = 180^\circ$.

Da $\textcolor{red}{\alpha = \beta_1 + \gamma}$ können wir dies in die obere Formel einsetzten, dann erhalten wir:

$\textcolor{red}{\alpha}+\beta+\gamma_1 = \textcolor{red}{\beta_1 + \gamma} +\beta+\gamma_1 = 180^\circ$

Da $\beta$ und $\beta_1$, $\gamma$ und $\gamma_1$ den gleichen Betrag haben, können wir dies weiter umformen in:

$2\cdot (\beta+ \gamma) = 180^\circ$     $|:2$

$\beta + \gamma = 90^\circ$

Da die Winkel $\beta$ und $\gamma$ zusammen den Winkel $\alpha$ ergeben, können wir nun sagen, dass $\alpha=90^\circ$.

$\textcolor{red}{\alpha = \beta + \gamma}$

$\alpha = 90^\circ$

Damit haben wir schon bewiesen, dass $\alpha$ immer $90^\circ$ groß sein muss.

Beispielaufgabe

Ein Mädchen steht mitten auf einem exakt kreisförmig zugefrorenem See. Der See hat einen Durchmesser von $10 m$. Ein paar Meter vom See entfernt steht der Hund des Mädchens. Wie weit genau ist der Hund vom See entfernt?

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Abbildung Mädchen, See und Hund

Diese Aufgabe kann mit dem Satz des Thales gelöst werden. Dafür zeichnen wir einen Kreis, bei dem die Kreislinie sowohl durch den Hund als auch durch das Mädchen läuft.

satz-des-thales-aufgabe-1
Abbildung mit Kreis

Nun haben wir einen Kreis, dessen Durchmesser gleich groß ist, wie der Abstand zwischen dem Mädchen und dem Hund.

Jetzt können wir ein Dreieck einzeichnen und dann mit Hilfe der Winkelfunktionen die Größe der Hypotenuse bestimmen. Unsere drei Winkelfunktionen, Sinus, Kosinus und Tangens, sind wie folgt definiert:

Gut zu wissen

Hinweis

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$Sinus = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

$Kosinus = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

$Tangens = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$

satz-des-thales-aufgabe-2
Abbildung Kreis mit Angaben

Nun haben wir ein Dreieck, wobei wir die Gegenkathete (Radius des Sees) und den Winkel gegeben haben.

Vertiefung

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Falls du nicht mehr weist, wie die Katheten benannt werden, schaue dir dies hier an.

Benennung der Katheten

Eine Kathete ist einfach eine Seite des Dreiecks.
Hier siehst du, wo sich die Hypotenuse, die Ankathete und die Gegenkathete befinden.

An- und Gegenkathete beziehen sich immer auf den gegebenen Winkel.

Wir kennen den Radius des kleinen Kreises. Er ist $5m$ breit. Den Winkel haben wir ausgemessen. Nun müssen wir nur noch die Länge der Hypotenuse mit Hilfe von Sinus, Kosinus oder Tangens bestimmen. Da wir die Hypotenuse suchen und die Gegenkathete und den Winkel gegeben haben, rechnen wir mit dem Sinus.

$sin(\alpha)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

$sin(13,82^\circ)=\frac{5m}{x}$

$x=\frac{5m}{sin(13,82^\circ)}\approx 20,93m$

Nun müssen wir nur noch den Radius abziehen und erhalten die Entfernung zwischen dem Hund und dem See.

$20,93m-5m=15,93    \rightarrow$ Der Hund ist ca. 16 m vom See entfernt.

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