Satz des Thales - Erklärung und Beweis

Definition

Der Satz des Thales ist einer der ältesten Sätze der Mathematik. Er besagt, dass alle Winkel in einem Halbkreisbogen rechtwinklig sind. Genau gesagt bedeutet das: Ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises (Thaleskreis) und einem weiteren Punkt dieses Halbkreises, ergibt immer ein rechtwinkliges Dreieck. Schauen wir uns dies an einer Skizze an.

Was ist der Thaleskreis?

Der Thaleskreis ist eigentlich nichts anderes als ein Halbkreis, der durch den Durchmesser getrennt wird. Da der rechte Winkel immer gegenüber von dem Durchmesser ist, ist dieser immer die Hypotenuse des gebildeten rechtwinkligen Dreiecks.

Beweis des Thalessatzes

Vom Mittelpunkt zum Punkt D ziehen wir eine Hilfslinie und haben nun drei Dreiecke:

1. Dreieck: Eckpunkte $B, C$ und $D$
2. Dreieck: Eckpunkte $B, D$ und Mittelpunkt
3. Dreieck: Eckpunkte $C, D$ und Mittelpunkt

Schauen wir uns nun die Dreiecke an. Unser Ziel ist es zu beweisen, dass $\alpha = 90 ^\circ $ ist.
Schauen wir uns das große Dreieck BCD mit der Linie vom Mittelpunkt zum Punkt D an. Wir sehen, dass durch die Linie zwei gleichschenklige Dreiecke gebildet werden. Die drei Schenkel sind alle so groß wie der Radius. Aus diesem Grund sind die Winkel $\beta$ und $\beta_1$ gleich groß und auch $\gamma$ und $\gamma_1$.

Wenden wir die Regel der Größe der Innensummen auf unsere Aufgabe an. Dann ist also $\alpha+\beta+\gamma_1 = 180^\circ$.

Da $\textcolor{red}{\alpha = \beta_1 + \gamma}$ können wir dies in die obere Formel einsetzten, dann erhalten wir:

$\textcolor{red}{\alpha}+\beta+\gamma_1 = \textcolor{red}{\beta_1 + \gamma} +\beta+\gamma_1 = 180^\circ$

Da $\beta$ und $\beta_1$, $\gamma$ und $\gamma_1$ den gleichen Betrag haben, können wir dies weiter umformen in:

$2\cdot (\beta+ \gamma) = 180^\circ$     $|:2$

$\beta + \gamma = 90^\circ$

Da die Winkel $\beta$ und $\gamma$ zusammen den Winkel $\alpha$ ergeben, können wir nun sagen, dass $\alpha=90^\circ$.

$\textcolor{red}{\alpha = \beta + \gamma}$

$\alpha = 90^\circ$

Damit haben wir schon bewiesen, dass $\alpha$ immer $90^\circ$ groß sein muss.

Beispielaufgabe - rechtwinkliges Dreieck zeichnen

In den folgenden Beispielaufgaben zeigen wir die Schritt für Schritt, wie du den Satz des Thales nutzen kannst. Anschließend kannst du dich selbst überprüfen. Los geht's!

Zeichne eine farbige Linie mit einer Länge von $8$ cm. Markiere anschließend den Mittelpunkt dieser Linie.

Nimm nun deinen Zirkel zur Hand und stelle ihn auf $4$ cm.

Steche den Zirkel in den Mittelpunkt und zeichne vom Anfang der farbigen Linie bis zum Ende.

Jetzt hast du oberhalb der Linie einen Halbkreis.

Benenne als nächstes Anfang und Ende der Linie mit $A$ und $B$. Markiere anschließend irgendwo auf dem Halbkreis einen Punkt $C$. Verbinde $A$ mit $C$ und $B$ mit $C$.

Bei dem Dreieck $ABC$ handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. Der rechte Winkel ist bei $C$.

Nun markiere auf dem Halbkreis einen anderen Punkt $D$ und verbinde wie oben mit $A$ und $B$.

Das neue Dreieck $ABC$ ist auch ein rechtwinkliges Dreieck.

Beispielaufgabe - Winkel messen und berechnen

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck. Miss dann den Winkel bei $A$:
$\alpha = $

Berechne den Winkel bei $B$:
$\beta = 90^\circ - \alpha = $

Ergebnis: Die Werte in dieser Zeichnung lauten $\alpha = 32^\circ$ und $\beta = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$

Beispielaufgabe - Überprüfung, ob ein Dreieck einen rechten Winkel hat

Miss alle Seiten und wähle die längste Seite. Markiere auf der längsten Seite den Mittelpunkt $M$. Steche den Zirkel in diesen Mittelpunkt. Zeichne einen Halbkreis von $A$ nach $B$.

Falls $C$ nicht auf dem Halbkreis liegt, so ist das Dreieck auch nicht rechtwinklig.

Falls C auf dem Halbkreis liegt, so ist das Dreieck rechtwinklig.

Beispielaufgabe - Viereck mit zwei rechten Winkeln

Zeichne einen Kreis und einen Durchmesser. Markiere zwei Punkte auf dem Kreis. Verbinde die vier Punkte auf dem Kreis zu einem Viereck. Dieses Viereck hat zwei Winkel, die rechtwinklig sind.

Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben!