Mathematik > Geometrie

Satz des Thales - Erklärung und Beweis

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Definition

Der Satz des Thales ist einer der ältesten Sätze der Mathematik. Er besagt, dass alle Winkel in einem Halbkreisbogen rechtwinklig sind. Genau gesagt bedeutet das: Ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises (Thaleskreis) und einem weiteren Punkt dieses Halbkreises, ergibt immer ein rechtwinkliges Dreieck. Schauen wir uns dies an einer Skizze an.

satz-des-thales

Methode

Methode

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Wie du siehst, entsteht, egal wohin du den Punkt D bewegst, immer ein rechtwinkliges Dreieck. Versuche dies einmal selbst mit dem Interaktiven Arbeitsblatt aus.

Bitte Box anklicken, um GeoGebra zu laden.

Was ist der Thaleskreis?

Der Thaleskreis ist eigentlich nichts anderes als ein Halbkreis, der durch den Durchmesser getrennt wird. Da der rechte Winkel immer gegenüber von dem Durchmesser ist, ist dieser immer die Hypotenuse des gebildeten rechtwinkligen Dreiecks.

Beweis des Thalessatzes

satz-des-thales-beweis
Abbildung Skizze Beweis Thalessatz

Vom Mittelpunkt zum Punkt D ziehen wir eine Hilfslinie und haben nun drei Dreiecke:

  1. Dreieck: Eckpunkte $B, C$ und $D$
  2. Dreieck: Eckpunkte $B, D$ und Mittelpunkt
  3. Dreieck: Eckpunkte $C, D$ und Mittelpunkt

Schauen wir uns nun die Dreiecke an. Unser Ziel ist es zu beweisen, dass $\alpha = 90 ^\circ $ ist.
Schauen wir uns das große Dreieck BCD mit der Linie vom Mittelpunkt zum Punkt D an. Wir sehen, dass durch die Linie zwei gleichschenklige Dreiecke gebildet werden. Die drei Schenkel sind alle so groß wie der Radius. Aus diesem Grund sind die Winkel $\beta$ und $\beta_1$ gleich groß und auch $\gamma$ und $\gamma_1$.

Merke

Merke

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Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt immer $180 ^\circ$!

Wenden wir die Regel der Größe der Innensummen auf unsere Aufgabe an. Dann ist also $\alpha+\beta+\gamma_1 = 180^\circ$.

Da $\textcolor{red}{\alpha = \beta_1 + \gamma}$ können wir dies in die obere Formel einsetzten, dann erhalten wir:

$\textcolor{red}{\alpha}+\beta+\gamma_1 = \textcolor{red}{\beta_1 + \gamma} +\beta+\gamma_1 = 180^\circ$

Da $\beta$ und $\beta_1$, $\gamma$ und $\gamma_1$ den gleichen Betrag haben, können wir dies weiter umformen in:

$2\cdot (\beta+ \gamma) = 180^\circ$     $|:2$

$\beta + \gamma = 90^\circ$

Da die Winkel $\beta$ und $\gamma$ zusammen den Winkel $\alpha$ ergeben, können wir nun sagen, dass $\alpha=90^\circ$.

$\textcolor{red}{\alpha = \beta + \gamma}$

$\alpha = 90^\circ$

Damit haben wir schon bewiesen, dass $\alpha$ immer $90^\circ$ groß sein muss.

Beispielaufgabe

Anton steht $100 m$ vom Seeufer entfernt. Der kreisrunde See hat einen Durchmesser von $80 m$. Konstruiere die Punkte am Seeufer, die diesen Winkel bestimmen. Unter welchem Blickwinkel sieht Anton den See?

blickwinkel-von-anton

Anton sieht den See unter dem Winkel, der sich durch die Berührpunkte $B$ 1, $B$ 2 und $A$ mit dem Scheitelpunkt $A$ ergibt. Also muss man $B$ 1 und $B$ 2 konstruieren.

Tangenten und Radien stehen senkrecht aufeinander. Die Berührpunkte kann man so bestimmen, dass z. B. Δ $AB$ 1 $M$ ein rechtwinkliges Dreieck ist. Für die Konstruktion kann man jetzt des Satz des THALES ausnutzen.

Das bedeutet, man konstruiert den Mittelpunkt (Konstruktion Mittelsenkrechte) zwischen $A$ und $M$ und zeichnet einen Kreis durch $A$ und $M$ mit dem Mittelpunkt der Strecke zwischen $A$ und $M$ als Kreismittelpunkt. Da die Schnittpunkte $B$ 1 und $B$ 2 auch auf diesem Kreis liegen, müssen nach THALES dort rechte Winkel sein. Das zeichnet Radien und zugehörige Tangenten aus.

Weiterhin kann mit Hilfe der Winkelbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck berechnet werden, wie groß der Blickwinkel ist.

satz-des-thales-aufgabe-1
Abbildung mit Kreis

Winkel   α  :

$sin   ( α ) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

$sin   ( α )= \frac{40}{140}$ ≈ $0,2857$

→ α ≈ $16,6$ °

→ Blickwinkel: $16,6$ ° · $2$ = $33,2$ °

Diese Art der Berechnung rechtfertigt im Endeffekt den Satz des THALES.

Gut zu wissen

Hinweis

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$Sinus = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

$Kosinus = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

$Tangens = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$

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Der Durchmesser des Kreises bzw. die eine Seite des Thaleskreis hat in jedem gebildeten Dreieck einen bestimmten Namen. Wie heisst diese Seite?

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In einem Thaleskreis kann ein Dreieck aus dem Durchmesser und einem Punkt auf dem Kreisrand gebildet werden. Welche bestimmte Art an Dreiecken entstehen daraus immer?

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