Mathematik > Geometrie

Geraden, Strecken und Winkel am Kreis

Inhaltsverzeichnis:

In diesem Text erklären wir dir, wie verschiedene Geraden und Strecken am Kreis benannt werden und wie die Länge des Kreisbogens berechnet wird.

Geraden am Kreis

Geraden können in Bezug auf einen Kreis verschieden liegen. Sie können ihn schneiden, an ihm vorbeilaufen oder ihn berühren. Je nach Lage der Gerade wird diese anders bezeichnet. Schauen wir uns dies in der nachfolgenden Abbildung an:

geraden_kreis
Abbildung: Kreis mit Geraden, die verschieden liegen

Sekante 

Eine Sekante schneidet den Kreis in zwei Punkten. 

Zentrale

Eine Zentrale schneidet, wie eine Sekante, den Kreis in zwei Punkten. Doch die Besonderheit einer Zentralen ist es, dass sie durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft.

Tangente

Eine Tangente berührt den Kreis nur an einem Punkt, sie streift den Kreis sozusagen. Den Punkt, an dem sich der Kreis und die Gerade berühren, nennt man Berührungspunkt.
Die Strecke zwischen dem Mittelpunkt und dem Berührungspunkt bildet mit der Tangente einen rechten Winkel.

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Konstruktion einer Tangente

1. Den Mittelpunkt und den Berührungspunkt verbinden.

tangente_konstruieren_1
Abbildung: Kreis mit Gerade durch Mittelpunkt und Berührungspunkt

2. Am Berührungspunkt wird nun die Tangente eingezeichnet. Sie muss mit der zuvor eingezeichneten Gerade einen rechten Winkel bilden. Dafür legst du das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade. Und zeichnest eine Linie, die durch den Berührungspunkt vorläuft, ein.

tangente_konstruieren_2
Abbildung: Tangente eingezeichnet

Passante

Eine Passante schneidet oder berührt den Kreis nicht.

Unterschied von Gerade und Strecke

Gut zu wissen

Hinweis

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Eine Gerade hat kein Ende und keinen Anfang. Sie ist unendlich lang!

Eine Strecke hingegen hat einen Anfang und auch ein Ende. Aus diesem Grund kann die Länge einer Strecke berechnet werden.

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Bezeichnungen von Strecken im Kreis

Auch Strecken werden je nach der Lage im Kreis anderes bezeichnet:

strecken_kreis
Abbildung: Bezeichnungen Strecken im Kreis

Winkel am Kreis

Um die Größe eines Winkels im Kreis zu messen, sollte zunächst klar sein, dass ein Vollkreis, also eine Drehung einmal herum, $360^\circ$ groß ist. Kreisausschnitte besitzen dann jeweils nur einen Teil des $360^\circ$ großen Winkels. Es wird also nicht einmal ganz herumgedreht, sondern es wird eine Teildrehung betrachtet.

winkel_kreis
Abbildung: Winkel vom Kreis und von Kreisausschnitten

Der Teil des Umfangs von dem Kreisausschnitt wird Kreisbogen genannt.

kreisbogen
Abbildung: Kreisbogen

Wie können wir die Länge des Kreisbogens mit der Winkelangabe berechnen. Schauen wir uns dies hier an:

Beispiel

Beispiel

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Der Kreisbogen ist ein Teil des Umfangs eines Kreises. Der Umfang wird mit der Formel: $ U = \pi \cdot d$ (d: Durchmesser) berechnet.

Der Winkel $\beta$ ist $115.2^\circ$ groß und der Radius beträgt $5 cm$. Berechnen wir zunächst den Umfang des ganzen Kreises:
$ U = \pi \cdot d = \pi \cdot 2\cdot r = \pi \cdot 10 cm \approx 31,42 cm$ .

Nun brauchen wir den Teil, der $115,2 ^\circ$ groß ist. Um den Anteil des Bogens am Gesamtkreisumfang zu berechnen, müssen wir den Winkel durch $360^\circ$ teilen.

$Anteil = \frac{115,2 ^\circ}{360^\circ}= 0,32$

Nun muss der Anteil mal dem Umfang gerechnet werden und wir erhalten die Länge des Kreisbogens.
$Kreisbogen = 0,32 \cdot 31,42 cm\approx 10,05 cm$

Daraus können wir eine allgemein gültige Formel ableiten:

Merke

Merke

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Formeln

Umfang:

$U = \pi \cdot d$

Kreisbogen:

$k = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d $

Mit den Übungsaufgaben kannst du das Berechnen von Kreisbogen und die Benennung von Geraden am Kreis einüben. Viel Erfolg dabei!

 

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Übungsaufgaben

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Wie lang ist der Kreisbogen?

aufgabe_winkel_kreis

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Wie heißt die Gerade in Bezug auf diesen Kreis?

kreis_gerade_aufgabe_1

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Berechne die Größe des Winkels!
Kreisbogenlänge: $5 cm$
Radius: $1 cm$

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Wurden die jeweiligen Strecken im Kreis richtig benannt? Markiere die korrekte Antwort!

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