Logarithmusgleichungen lösen einfach erklärt

Unbekannte als Exponent im Logarithmus

Ist die unbekannte Variable Teil eines Exponenten in einem Logarithmus, haben wir zwei Möglichkeiten die Logarithmusgleichung zu lösen.

$\lg(3^{2 \cdot x +1})=4~~~~~~~~~(lg= \log_{10})$

1. Möglichkeit: Logarithmus in eine Potenz umwandeln

Wir können diese Logarithmusgleichung auf dieselbe Art und Weise lösen, wie die obigen Beispiele. Auch hier wandeln wir den Logarithmus in einem ersten Schritt in eine Potenz um.

$\lg(3^{2 \cdot x +1})=4~~~~~| \log_{a}(b)=n \leftrightarrow a^n=b$

$3^{2 \cdot x + 1} = 10^4$

Wir erhalten eine Exponentialgleichung, die wir lösen können, indem wir die Gleichung wieder logarithmieren. Dieses Mal allerdings mit $\log_{3}$.

$3^{2 \cdot x + 1} = 10^4~~~~~|\log_{3}$

$2 \cdot x + 1= \log_{3}(10^4)~~~~~| -1$

$2 \cdot x = \log_{3}(10^4) - 1~~~~~|:2$

$x = \frac{1}{2} \cdot (\log_{3}(10^4) - 1)$

$x \approx 3,69$

2. Möglichkeit: Lösen mithilfe des dritten Logarithmusgesetzes

Um das Rechnen mit der Exponentialgleichung zu umgehen, können wir im ersten Schritt auch das dritte Logarithmusgesetz anwenden. Dieses besagt, dass der Logarithmus einer Potenz dem Exponenten mal dem Logarithmus entspricht.

$\lg(3^{2 \cdot x +1})=4~~~~~|3. LG$

$(2 \cdot x + 1) \cdot lg (3) = 4$

Die Gleichung lässt sich nun einfach nach $x$ umstellen.

$(2 \cdot x + 1) \cdot lg (3) = 4~~~~~|:lg(3)$

$2 \cdot x + 1 =\frac{4}{lg(3)}~~~~~|-1$

$2 \cdot x = \frac{4}{lg(3)} - 1~~~~~|:2$

$x = \frac{1}{2} (\frac{4}{lg(3)} - 1)$

$x \approx 3,69$

Beide Methoden führen also zum selben Ergebnis. Letztendlich kann jeder für sich entscheiden, welche Variante er nutzt.

Logarithmusgleichungen mit mehreren Logarithmen

Logarithmusgleichungen können aus mehr als einem Logarithmus bestehen. Die unbekannte Variable $x$ taucht meistens gleich zweimal in der Gleichung auf.

$lg(x+3) + lg(x) = 1$

Im ersten Schritt müssen wir die Logarithmen zu einem Logarithmus zusammenfassen. Dabei helfen uns die Logarithmusgesetze. In diesem Fall wenden wir das erste Logarithmusgesetz an.

$lg(x+3) + lg(x) = 1~~~~~|1.LG$

$lg((x+3) \cdot x) = 1$

Wir erhalten eine Logarithmusgleichung mit einer Unbekannten im Logarithmand und lösen diese nach bekanntem Verfahren auf.

$lg((x+3) \cdot x) = 1~~~~~| \log_{a}(b)=n \leftrightarrow a^n=b$

$(x+3)\cdot x = 10^1$

$x^2 + 3\cdot x = 10~~~~~|-10$

$x^2 + 3\cdot x -10 =0$

Wir erhalten eine quadratische Gleichung, die wir mithilfe der p-q-Formel lösen können.

$x^2 + \textcolor{red}{3} \cdot x \textcolor{orange}{-10} =0$

$x_{1,2} = -\frac{3}{2} \pm \sqrt[]((\frac{3}{2})^2 - (-10))$

$x_{1,2} = -1,5 \pm 3,5$

$x_1= -5~~~~~~~~~~~x_2= 2$

Wir erhalten zwei Lösungen für die quadratische Gleichung.

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