Summen- und Differenzenregel - Teilbarkeit
Die Summenregel ist eine der Teilbarkeitsregeln in der Mathematik. Sie hilft dir Aufgaben so zu vereinfachen, dass du die Aufgaben schneller im Kopf rechnen kannst und so schneller die Lösung findest.
Methode
Die Grundlage für dieses Kapitel bildet das Wissen über die Punkt- vor Strichrechnung. Die Themenseite dazu kannst du durch klicken auf den Begriff erreichen.
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Summenregel
Merke
Sind alle Summanden einer Summe durch eine Zahl teilbar, dann ist auch die Summe selbst durch diese Zahl teilbar.
Wir haben gelernt, dass du in der Mathematik immer die Punkt- vor der Strichrechnung berechnen musst. Weiter haben wir gelernt, dass noch vor der Punktrechnung die Klammern aufgelöst werden müssen. Doch wie lösen wir die Klammer auf, wenn in ihr sehr große Zahlen stehen? Hier kann die Summenregel helfen. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:
Beispiel
$(42+63):7$
Hier können wir im ersten Schritt die beiden Zahlen in der Klammer addieren, so wie es die Klammerrechnung-vor-Punktrechnung-vor-Strichrechnung-Regel sagt. Wir erhalten:
$105:7$
Das Ergebnis daraus ist: $105:7=15$
Wenn du die Aufgabe im Kopf lösen möchtest, ist es jedoch manchmal einfacher, zunächst die beiden Summanden durch den Divisor zu teilen, also zunächst wie folgt zu rechnen:
$42:7=6$
$63:7=9$
Beide Zahlen sind durch $7$ teilbar. Die Summe der Ergebnisse ($6+9$) führt dich zum Endergebnis ($15$).
Wir können die Aufgabe also auf zwei unterschiedliche Arten berechnen:
- $(42+63):7= 105:7 = 15 $
- $(42+63):7=(42:7)+(63:7)= 6 + 9 =15$
Je nach Aufgabe kannst du selbst entscheiden, welches Verfahren dir lieber ist.
Differenzenregel
Merke
Sind Minuend und Subtrahend einer Differenz durch eine Zahl teilbar, dann ist auch die Differenz durch die Zahl teilbar.
So wie du mithilfe der Summenregel eine Rechnung vereinfachen kannst, kannst du auch mithilfe der Differenzenregel eine Rechnung vereinfachen. Nehmen wir dazu folgendes Beispiel:
Beispiel
$(56-35):7$
Wir können zuerst die Klammer ausrechnen: $56-35=21$. Wenn wir im nächsten Schritt $:7$ rechnen, erhalten wir die Lösung $3$.
Also: $(56-35):7 = 21:7 = 3$
Wir können aber auch zuerst die einzelnen Zahlen in der Klammer durch $7$ dividieren und die Ergebnisse dann voneinander subtrahieren.
Also: $(56-35):7 = (56:7)-(35:7) = 8 - 5 = 3 $
Beide Verfahren führen zur richtigen Lösung. Du kannst also bei jeder Aufgabe selbst entscheiden, welches Verfahren dir lieber ist.
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