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Prozentuale Veränderung, Prozentfaktor und -satz

Prozentuale Veränderung, Prozentfaktor & Prozentsatz! | Mathe verstehen mit dem Studienkreis
Inhaltsverzeichnis:
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In diesem Text beschäftigen wir uns mit dem Prozentfaktor und dem Prozentsatz. Beide Begriffe beschäftigen sich mit der Prozentrechnung, um genauer zu sein, mit der prozentualen Zu- bzw. Abnahme.

Die prozentuale Änderung

Die prozentuale Änderung beschreibt die Veränderung einer bestimmten Größe innerhalb eines bestimmten Zeitraums. Wie der Name schon verrät, wird sie in Prozent ausgedrückt.

Beispiel

Peter hat in den letzten Wochen ein wenig zugenommen. Er wog $70~kg$ und wiegt nun $8 \%$ mehr.

$70kg + (8 \% \cdot 70kg) = 70kg + 5,6 kg = 75,6 kg$

Linda hat in demselben Zeitraum von ihren $65~kg$ Körpergewicht $6 \%$ verloren.

$65kg - (6 \% \cdot 65kg) = 65kg - 3,9 kg = 61,1 kg$

Merke

Prozentuale Änderung

$Anfangswert \pm prozentuale~Veränderung = Endwert$

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Was ist der Prozentfaktor?

Als Alternative zu der prozentualen Änderung kannst du auch mit dem sogenannten Prozentfaktor rechnen, um Ab- oder Zunahmen einer Größe zu beschreiben

Dies geschieht, indem wir die Gleichung der prozentualen Veränderung ein wenig umformen. Betrachten wir noch einmal unsere Beispiele, der Prozentfaktor ist jeweils $\textcolor{red}{rot}$ markiert.

Beispiel

$70kg + (8 \% \cdot 70kg) = 70kg \cdot \textcolor{red}{(100 \% + 8 \%)} = 70kg \cdot \textcolor{red}{108 \%}$

$65kg - (6 \% \cdot 65kg) = 65kg \cdot \textcolor{red}{(100 \% - 6\%)} = 65kg \cdot \textcolor{red}{94 \%}$

Merke

Rechnen mit dem Prozentfaktor

$Anfangswert \cdot Prozentfaktor~=~Endwert$

Um mit dem Prozentfaktor rechnen zu können, musst du die Prozentangabe in eine Dezimalzahl umwandeln:

  • Prozentschreibweise: $100 \% \pm p \%$
  • Dezimalschreibweise: $1 \pm \frac{p}{100}$

Daraus ergibt sich folgender Zusammenhang:

  • Es handelt sich um eine prozentuale Zunahme, wenn der Prozentfaktor $q$ größer als $1$ ist.
  • Es handelt sich um eine prozentuale Abnahme, wenn der Prozentfaktor $q$ kleiner als $1$ ist.

Der Unterschied zwischen Prozentsatz und Prozentfaktor

Der Begriff Prozentfaktor, wie du ihn gerade kennengelernt hast, wird oft mit dem Begriff Prozentsatz verwechselt.

Merke

Der Prozentsatz $p \%$ gibt an, um wie viel Prozent sich der Anfangswert ändert.

Der Prozentfaktor $q$ gibt an, auf wie viel Prozent sich der Anfangswert geändert hat.

Beispiel

Preiserhöhung von 80€ auf 90€.

Prozentsatz: Erhöhung um $12,5 \%$

Prozentfaktor: Erhöhung auf $112,5 \%$ = 1,125

Prozentfaktor aus Prozentsatz berechnen

Ist der Prozentsatz $p\%$ gegeben können wir den Wert in den Prozentfaktor $q$ umrechnen:

  • Zunahme: $q = 1 + \frac{p}{100}$
  • Abnahme: $q = 1 - \frac{p}{100}$

Beispiel

Erhöhung um $40\% \rightarrow  q = 1 + \frac{40}{100} = 1,4$

Senkung um $22\% \rightarrow  q = 1 - \frac{22}{100} = 0,78$

Prozentsatz aus Prozentfaktor berechnen

Andersherum kann auch der Prozentfaktor $q$ gegeben sein und wir möchten daraus den Prozentsatz $p\%$ berechnen.

  • Zunahme ($q > 1$): $~p\% = q - 1$
  • Abnahme ($q < 1$): $~p\% = 1 - q$

Beispiel

Erhöhung auf $186\% \rightarrow p\% = 1,86 - 1 =86\% $

Senkung auf $55\% \rightarrow p\% = 1 - 0,55 = 45\%$

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Der Preis wurde um $15\%$ angehoben. Wie lautet der Prozentfaktor für diese Preiserhöhung?

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19.04.2024
Sehr nette und zuvorkommende Beraterin in 32584 Löhne, wir gehen mit einem guten Gefühl in die ersten stunden 😊
15.04.2024 , von Esra Ö.
Sehr hilfsbereit und Hat meiner tochter in der schule sehr verbessern lassen Sehr nette lehrerinnen da sehr empfehlenswert alle immer am lächeln Dankeschön
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